Komposisi fungsi merupakan penggabungan dua atau lebih fungsi dengan aturan tertentu. Komposisi fungsi umumnya disimbolkan dengan simbol "$\circ$" yang dibaca : "bundaran". Prinsip komposisi fungsi bisa kita analogikan seperti beberapa mesin untuk memproduksi suatu produk. Misalnya mesin 1 mengolah bahan mentah menjadi bahan setengah jadi kemudian bahan setengah jadi tersebut diolah oleh mesin 2 sehingga menjadi suatu produk. Dalam contoh tersebut, misalnya banyaknya bahan mentah adalah $x$ diolah oleh mesin 1 sehingga diperoleh bahan setengah jadi mengikuti fungsi $f$ dan diperoleh bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$. Bahan setengah jadi sebanyak $f(x)$ kemudian diolah oleh fungsi $g$ sehingga diperoleh suatu produk sebanyak $g(f(x))$. Notasi $g(f(x))$ inilah yang disebut sebagai komposisi fungsi, dapat pula dinyatakan dengan $(g\circ f)(x)$ dibaca: $g$ bundaran $f$. $(g \circ f)(x)$ merupakan komposisi fungsi $g$ terhadap $f$. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di bawah ini:
Syarat Komposisi Fungsi
Fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ jika memenuhi syarat: "irisan daerah hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) dan daerah asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" atau dapat ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi akan terdefinisi jika terdapat irisan antara daerah hasil fungsi pertama dan daerah asal fungsi kedua.
Fungsi $f$ dan fungsi $g$ dapat di komposisikan menjadi $(f\circ g)(x)$ jika memenuhi syarat: "irisan daerah hasil (range) fungsi $g$ (fungsi pertama) dan daerah asal (domain) fungsi $f$ (fungsi kedua) tidak sama dengan himpunan kosong" atau dapat ditulis $R_g \cap D_f \ne \varnothing$. Dengan kata lain, komposisi dua buah fungsi akan terdefinisi jika terdapat irisan antara daerah hasil fungsi pertama dan daerah asal fungsi kedua.
Contoh:
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut
$f:\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,3)\}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menyelidiki apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $g$ dan daerah asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menyelidiki apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $f$ dan daerah asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ dan $h$ suatu fungsi dan $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ dan $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
2. Berlaku sifat asosiatif
3. Berlaku sifat identitas
Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yang variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian nasional dan soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) dan beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2016 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ dan $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ dan $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ adalah ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ dan $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ adalah ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ dan $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2017 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, dan $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu membuat $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2018 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi akan mendapatkan uang saku berdasarkan jumlah makanan yang terjual pada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ adalah uang saku dalam rupiah dan $x$ adalah jumlah makanan yang terjual. Ternyata, jumlah makanan yang terjual tergantung pada waktu yang digunakan Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ adalah waktu dalam jam. Uang saku yang diperoleh Didi jika ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur adalah ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2016 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
Maka $(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)=$ ....
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, dan $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$
$g:\{(1,1),(2,3),(6,2)\}$
Selidikilah apakah $(f\circ g)(x)$ dan $(g\circ f)(x)$ terdefinisi?
Jawab:
untuk menyelidiki apakah $(f\circ g)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $g$ dan daerah asal dari $f$.
$R_g=\{1, 2, 3\}$
$D_f=\{1, 2, 3, 4\}$
$R_g\cap D_f =\{1, 2, 3\}$
Karena $R_g\cap D_f\ne \varnothing$, maka $(f\circ g)(x)$ terdefinisi
untuk menyelidiki apakah $(g\circ f)(x)$ terdefinisi atau tidak, kita perlu mengetahui daerah hasil (range) dari $f$ dan daerah asalh (domain) dari $g$
$R_f=\{3, 4, 5\}$
$D_g=\{1, 2, 6\}$
$R_f\cap D_g=\varnothing$
Karena $R_f\cap D_g=\varnothing$, maka$(g\circ f)(x)$ tidak terdefinisi
Sifat-sifat komposisi Fungsi
Diketahui $f$, $g$ dan $h$ suatu fungsi dan $I(x)=x$ suatu fungsi identitas. Jika $R_h\cap D_g\ne \varnothing$, $R_g\cap D_f\ne \varnothing$ dan $R_I\cap D_f\ne \varnothing$ maka pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat-sifat sebagai berikut:
1. Tidak berlaku sifat komutatif
$g\circ f \ne f \circ g$
2. Berlaku sifat asosiatif
$f\circ (g\circ h)=(f \circ g)\circ h$
3. Berlaku sifat identitas
$f\circ I=I\circ f = f$
Beberapa Contoh Soal dan Pembahasan Komposisi Fungsi
Berikut ini kami sajikan beberapa contoh soal komposisi fungsi dengan bentuk soal yang variatif terdiri dari soal harian (umum), soal ujian nasional dan soal SBMPTN (soal seleksi masuk PTN) dan beberapa diantaranya masuk kategori soal HOTS (Higher Order Thinking Skills).
Contoh 1 (Ujian Nasional 2016 Matematika IPA)
Diketahui $f:R\to R$ dan $g: R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=x^2 -2x-3$ dan $g(x)=x+6$. Fungsi komposisi $(f\circ g)(x)$ adalah ....
A. $(f\circ g)(x)=x^2-2x+3$
B. $(f\circ g)(x)=x^2-2x-9$
C. $(f\circ g)(x)=x^2+10x-21$
D. $(f\circ g)(x)=x^2+10x+21$
E. $(f\circ g)(x)=x^2-10x-21$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=f(g(x))\\&=(x+6)^2-2(x+6)-3\\&=x^2+12x+36-2x-12-3\\&=x^2+10x+21\end{align*}$
Contoh 2
Diketahui $f(x)=3x-1$ dan $g(x)=2x^2-3$. Komposisi fungsi $(g\circ f)(x)$ adalah ....
A. $9x^2-3x+1$
B. $9x^2-6x+3$
C. $9x^2-6x+6$
D. $18x^2-12x-2$
E. $18x^2-12x-1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(g\circ f)(x)&=g(f(x))\\&=2(3x-1)^2-3\\&=2(9x^2-6x+1)-3\\&=18x^2-12x+2-3\\&=18x^2-12x-1\end{align*}$
Contoh 3
Diketahui $(f\circ g)(x)=4x^2+20x+23$ dan $g(x)=2x+5$. Rumus fungsi $f(x)$ adalah ....
A. $x^2-2$
B. $2x^2-1$
C. $\frac{1}{2}x^2-2$
D. $\frac{1}{2}x^2+2$
E. $\frac{1}{2}x^2-1$
Pembahasan:
Misal $2x+5=p$ maka $x=\frac{p-5}{2}$
$\begin{align*}(f\circ g)(x) &=4x^2+20x+23 \\ f(g(x))&=4x^2+20x+23 \\ f(2x+5)&=4x^2+20x+23 \\ f(p)&=4\left(\frac{p-5}{2}\right)^2+20\left(\frac{p-5}{2}\right) +23\\&=4\left(\frac{p^2-10p+25}{4}\right)+10(p-5)+23\\&=p^2-10p+25+10p-50+23\\&=p^2-2\end{align*}$
Jadi, $f(x)=x^2-2$
Contoh 4
Diketahui $(f\circ g)(x)=2x^2+4x+5$ dan $f(x)=2x+3$, maka $g(x)=$ ....
A. $x^2+2x+1$
B. $x^2+2x+2$
C. $2x^2+x+2$
D. $2x^2+4x+2$
E. $2x^2+4x+1$
Pembahasan:
$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=2x^2+4x+5\\ f(g(x))&=2x^2+4x+5\\2(g(x))+3&=2x^2+4x+5\\2(g(x))&=2x^2+4x+5-3\\2(g(x))&=2x^2+4x+2\\g(x)&=x^2+2x+1\end{align*}$
Contoh 5 (Ujian Nasional 2017 Matematika IPA)
Diketahui fungsi $f:R\to R$, dan $g:R\to R$ dengan $g(x)=-x+3$ dan $(f\circ g)(x)=4x^2-26x+32$, maka nilai $f(1)$ adalah ....
A. $-5$
B. $-4$
C. $-3$
D. $3$
E. $4$
Pembahasan:
Perhatikan bahwa $(f\circ g)(x)=f\left(g(x)\right)$, untuk mencari nilai $f(1)$ kita perlu membuat $g(x)=1$.
$\begin{align*}g(x)&=-x+3\\1&=-x+3\\x&=3-1\\x&=2\end{align*}$
Jadi $g(2)=1$
$\begin{align*}f(g(x))&=4x^2-26x+32 \\ f(g(2))&=4(2)^2-26(2)+32\\f(1)&=4(4)-52+32\\&=16-20\\&=-4\end{align*}$
Contoh 6 (Ujian Nasional 2018 Matematika IPA - HOTS)
Untuk menambah uang saku, Didi berniat membantu kakaknya berjualan makanan. Didi akan mendapatkan uang saku berdasarkan jumlah makanan yang terjual pada hari tersebut dengan fungsi $P(x)=1.000x+200$, dengan $P$ adalah uang saku dalam rupiah dan $x$ adalah jumlah makanan yang terjual. Ternyata, jumlah makanan yang terjual tergantung pada waktu yang digunakan Didi untuk berjualan dengan $x=f(t)=3t+2$, dengan $t$ adalah waktu dalam jam. Uang saku yang diperoleh Didi jika ia berjualan selama 3 jam suatu hari libur adalah ....
A. Rp11.500,00
B. Rp11.200,00
C. Rp10.500,00
D. Rp10.200,00
E. Rp9.500,00
Pembahasan:
$\begin{align*}P(f(t)))&=1.000(3t+2)+200\\&=3.000t+2.000+200\\&=3.000t+2.200\end{align*}$
untuk $t=3$
$\begin{align*}P(f(3))&=3.000(3)+2.200\\&=9.000+2.200\\&=11.200\end{align*}$
Contoh 7 (SBMPTN 2016 Kode 317)
Perhatikan tabel berikut
A. $-1$
B. $1$
C. $2$
D. $3$
E. $5$
Pembahasan:
Dari tabel kita peroleh:
$g(1)=0$, $f(0)=1$, $g(2)=1$, $f(1)=3$, dan $g(3)=2$
Maka:
$\begin{align*}(f\circ g)(1)+(g\circ f\circ g)(2)&=f(g(1))+g(f(g(2)))\\&=f(0)+g(f(1))\\&=1+g(3)\\&=1+2\\&=3\end{align*}$