Bentuk umum fungsi kuadrat yaitu f(x) = ax2 + bx + c = 0 dimana a, b, dan c yaitu bilangan real dan a ≠ 0.
Grafik fungsi kuadat ini gambarnya berbentuk parabola. Untuk menggambarnya diharapkan langkah-langkah sebagai berikut :
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x ,
syaratnya y = 0
sehingga ax2 + bx + c = 0
(x – x1)( x – x2) = 0
Titiknya (x1,0) dan (x2,0)
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y,
syaratnya x = 0 sehingga y = a(0)2 + b(0) + c = c
Titiknya (0, c)
(3) Menentukan persamaan sumbu simetri, yakni : x = xp, dimana xp yaitu titik tengah x1 dan x2. Sehingga persamaan sumbu simetri adalah:
Menentukan nilai ekstrim atau nilai maksimum/minimum fungsi, yakni yp Dimana yp = axp2 + bxp + c, sehingga nilai maksimum/minimum fungsi adalah
Catatan: Jika a > 0 maka nilai minimum dan jikalau a < 0 maka nilai maksimum
(5) Menentukan titik balik fungsi (maksimum/minimum), yaitu
(6) Menggambar grafik fungsi
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
01 Lukislah grafik fungsi f(x) = x2 – 2x – 8
Jawab
Titik potong dengan sumbu-X, yakni
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x1 = 4 dan x2 = –2
Titiknya (–2, 0) dan (4, 0)
Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni
y = x2 – 2x – 8
y = (0)2 – 2(0) – 8 = –8 Titiknya (0, –8)
Titik balik minimumnya di P(1, –9)
Gambar grafiknya:
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan diskriminan D = b2 – 4ac akan memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
(1) Memotong sumbu x di dua titik jikalau D > 0
(2) Menyinggung sumbu x jikalau D = 0
(3) Tidak memotong atau menyinggung sumbu x jiks D < 0
(4) Membuka ke atas jikalau a > 0
(5) Membuka ke bawah jikalau a < 0
(6) Seluruh fungsinya berada di atas sumbu x (definit positip) jikalau D < 0 dan a > 0
(7) Seluruh fungsinya berada di bawah sumbu x (definit negatip) jikalau D < 0 dan a < 0
Terkadang suatu fungsi kuadrat sanggup disusun jikalau diketahui beberapa unsurnya, yaitu
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya yaitu f(x) = a(x – x1)( x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya yaitu f(x) = a(x – p)2 + q
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini :
01. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum P(3, –6) dan melalui titik (5, 2)
Jawab
y = a(x – p)2 + q
y = a(x – 3)2 + (–6)
y = a(x2 – 6x + 9) – 6
Melalui titik (5, 2) maka:
2 = a(52 – 6(5) + 9) – 6
2 + 6 = a(25 – 30 + 9)
8 = a(4) sehingga a = 2
Jadi
y = 2(x2 – 6x + 9) – 6
y = 2x2 – 12x + 12
02. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jikalau titik potongnya dengan sumbu-X yaitu A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)
Jawab
y = a(x – x1)( x – x2)
y = a(x – 4)(x – (–2))
y = a(x – 4)(x + 2)
y = a(x2 – 2x – 8)
Melalui titik (2, –8) maka :
–8 = a((2)2 – 2(2) – 8)
–8 = a(4 – 4 – 8)
–8 = a(–8) sehingga a = 1
Jadi
y = 1(x2 – 2x – 8)
y = x2 – 2x – 8
03. Tentukanlah nilai m biar fungsi kuadrat y = mx2 + (2m + 1) x + (m + 2) menyinggung sumbu-X
Jawab
Syarat menyinggung : D = 0
b2 – 4ac = 0
(2m + 1)2 – 4(m)(m + 2) = 0
4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 8m = 0
–4m + 1 = 0
m = 1/4
Grafik fungsi kuadat ini gambarnya berbentuk parabola. Untuk menggambarnya diharapkan langkah-langkah sebagai berikut :
(1) Menentukan titik potong dengan sumbu x ,
syaratnya y = 0
sehingga ax2 + bx + c = 0
(x – x1)( x – x2) = 0
Titiknya (x1,0) dan (x2,0)
(2) Menentukan titik potong dengan sumbu y,
syaratnya x = 0 sehingga y = a(0)2 + b(0) + c = c
Titiknya (0, c)
(3) Menentukan persamaan sumbu simetri, yakni : x = xp, dimana xp yaitu titik tengah x1 dan x2. Sehingga persamaan sumbu simetri adalah:
Menentukan nilai ekstrim atau nilai maksimum/minimum fungsi, yakni yp Dimana yp = axp2 + bxp + c, sehingga nilai maksimum/minimum fungsi adalah
Catatan: Jika a > 0 maka nilai minimum dan jikalau a < 0 maka nilai maksimum
(5) Menentukan titik balik fungsi (maksimum/minimum), yaitu
(6) Menggambar grafik fungsi
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini:
Jawab
Titik potong dengan sumbu-X, yakni
x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
x1 = 4 dan x2 = –2
Titiknya (–2, 0) dan (4, 0)
Titiik potong dengan sumbu-Y, yakni
y = x2 – 2x – 8
y = (0)2 – 2(0) – 8 = –8 Titiknya (0, –8)
Titik balik minimumnya di P(1, –9)
Gambar grafiknya:
Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 dengan diskriminan D = b2 – 4ac akan memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
(1) Memotong sumbu x di dua titik jikalau D > 0
(2) Menyinggung sumbu x jikalau D = 0
(3) Tidak memotong atau menyinggung sumbu x jiks D < 0
(4) Membuka ke atas jikalau a > 0
(5) Membuka ke bawah jikalau a < 0
(6) Seluruh fungsinya berada di atas sumbu x (definit positip) jikalau D < 0 dan a > 0
(7) Seluruh fungsinya berada di bawah sumbu x (definit negatip) jikalau D < 0 dan a < 0
a. Jika fungsi kuadrat diketahui titik potong dengan sumbu x yaitu (x1 , 0) dan (x2 , 0) maka persamaannya yaitu f(x) = a(x – x1)( x – x2)
b. Jika suatu fungsi kuadrat diketahui titik baliknya P(p , q), maka persamaannya yaitu f(x) = a(x – p)2 + q
Untuk lebih jelasnya ikutilah teladan soal berikut ini :
01. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik balik minimum P(3, –6) dan melalui titik (5, 2)
Jawab
y = a(x – p)2 + q
y = a(x – 3)2 + (–6)
y = a(x2 – 6x + 9) – 6
Melalui titik (5, 2) maka:
2 = a(52 – 6(5) + 9) – 6
2 + 6 = a(25 – 30 + 9)
8 = a(4) sehingga a = 2
Jadi
y = 2(x2 – 6x + 9) – 6
y = 2x2 – 12x + 12
02. Tentukanalah persamaan fungsi kuadrat jikalau titik potongnya dengan sumbu-X yaitu A(4, 0) dan B(–2, 0) serta melalui titik (2, –8)
Jawab
y = a(x – x1)( x – x2)
y = a(x – 4)(x – (–2))
y = a(x – 4)(x + 2)
y = a(x2 – 2x – 8)
Melalui titik (2, –8) maka :
–8 = a((2)2 – 2(2) – 8)
–8 = a(4 – 4 – 8)
–8 = a(–8) sehingga a = 1
Jadi
y = 1(x2 – 2x – 8)
y = x2 – 2x – 8
03. Tentukanlah nilai m biar fungsi kuadrat y = mx2 + (2m + 1) x + (m + 2) menyinggung sumbu-X
Jawab
Syarat menyinggung : D = 0
b2 – 4ac = 0
(2m + 1)2 – 4(m)(m + 2) = 0
4m2 + 4m + 1 – 4m2 – 8m = 0
–4m + 1 = 0
m = 1/4